Exercice 5, § 13

Soient K un corps commutatif et L un ensemble fini. On désigne par B l’algèbre construite dans l’exerc. 17 de VIII, p. 164 par $\varepsilon$ l’élément central $1-\sum_{\lambda}c_{\lambda}+\sum_{\lambda\not=\mu}r_{\lambda \mu}$ de B et par A l’algèbre $B/B\varepsilon$. La K-algèbre A est de dimension finie, son radical $\mathfrak{r}$ est de carré nul et $A/\mathfrak{r}$ est isomorphe à $K^L$; prouver que A n’est pas isomorphe à un produit de deux algèbres non nulles.