Exercice 9, § 13

Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre. On suppose que pour toute K-algèbre artinienne B, l’anneau $A\otimes_KB$ est artinien. Démontrer que A est de dimension finie sur K (se ramener au cas où A est semi-simple, en observant que les $A/\Re$(A)-modules $\Re (A)^k/\Re (A)^{k+1}$ sont de longueur finie ; puis utiliser les exerc. 6 et 7).