Exercice 10, § 14

Tag 00HL, permanent. Cite it as [Bourbaki, Tag 00HL].

Algèbre, VIII, p. 267

Soient A un anneau commutatif, P un A-module fidèle et projectif de type fini.

a) Prouver que la A-algèbre S = End $_A(P)$ est une algèbre d’Azumaya.

b) Prouver que le S-module à gauche P est projectif.

c) Soit $P'$ un second A-module fidèle et projectif de type fini ; prouver que le A-module $P\otimes_AP'$ est fidèle et projectif de type fini, et que l’algèbre End $_A(P\otimes_AP')$ s’identifie canoniquement à End $_A(P)\otimes_A$ End $_A(P')$ .

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