Exercice 1, § 17

Soient B une algèbre de degré fini sur le corps commutatif K et $b$ un élément de B.

a) Si $b$ est nilpotent, on a Tr$_{M/K}(b) = 0$ pour tout A-module M de dimension finie sur K. En déduire que si $b$ appartient au radical de B, on a Tr$_{M/K}(bc) = 0$ pour tout $c\in B$.

b) Si Tr$_{S/K}(bc) = 0$ pour tout B-module simple S et tout $c\in B$, prouver que $b$ appartient au radical de B (utiliser le théorème de densité).