Exercice 4, § 18

Soient K un corps fini, A une K-algèbre algébrique (exerc. 3).

a) On suppose que A est un corps ; prouver que A est commutatif. (Soit $x$ un élément non central de A ; en considérant le corps $Z(x)$, où Z est le centre de A, démontrer qu’il existe un élément $y\in A$ tel que $yxy^{-1}=x^r$, avec $x^r\not=x$; en déduire une contradiction en considérant le sous-corps $K(x, y)$ de A.)

b) On suppose que A ne contient pas d’élément nilpotent non nul ; prouver que l’algèbre A est commutative (utiliser a) et l’exerc. 3).