Exercice 1, § 21

Soient A un anneau commutatif, G un groupe et H un sous-groupe d’indice fini de G ; on suppose que l’élément $(G : H)1_A$ de A est inversible. Soient M un A[G]-module et N un sous-A[G]-module de M. Si N admet un sous-A[H]-module supplémentaire dans M, prouver qu’il admet un sous-A[G]-module supplémentaire dans M (adapter la démonstration du th. 1 de VIII, p. 391). En déduire qu’un A[G]-module qui est projectif en tant que A[H]module est projectif.