Exercice 9, § 21

Soient $(M, \pi )$ une représentation irréductible de G et H un sous-groupe distingué de G.

a) Soit $M =\bigoplus_{i\in I}M_i$ la décomposition du K[H]-module M en somme directe de sous-modules isotypiques. Prouver que l’action de G sur M permute transitivement les sous-modules $M_i$. En déduire que $(M, \pi )$ est isomorphe à la représentation induite par un sous-groupe de G contenant H (appliquer l’exerc. 5 b)).

b) Soit $\mathscr{S}$ le support du K[H]-module M ; il existe un entier $e$ tel que M soit K[H]isomorphe à $\sum_{\lambda\in\mathscr{S}}\lambda^e$.