Exercice 1, § 4

a) Soient M un A-module, $x$ un élément de M dont l’annulateur est intersection d’une famille finie d’idéaux maximaux. Prouver que le module $Ax$ est semi-simple (le plonger dans un produit fini de modules simples).

b) En déduire que pour qu’un module M soit semi-simple, il faut et il suffit que l’annulateur de tout élément non nul soit intersection d’une famille finie d’idéaux maximaux.