Exercice 5, § 4

Soit M un module de longueur finie, et soit $M =\oplus_{i\in I}M_i$ une décomposition de M en somme directe de sous-modules indécomposables. Soit $J\subset I$ une classe d’équivalence pour la relation « les modules $M_i$ et $M_j$ sont isomorphes » entre $i$ et $j$; on pose $M_J=\oplus_{i\in J}M_i$. Montrer par un exemple que $M_J$ n’est pas nécessairement stable par tout automorphisme de M (utiliser l’exerc. 4, en prenant pour M un $\mathbf{Z}$-module de longueur finie).