Exercice 9, § 5

Soient D un corps et V un espace vectoriel à droite sur D. On considère V comme un module à gauche sur l’anneau A = End$_D(V)$.

a) Démontrer que le A-module V est projectif, de type fini, fidèle et équilibré. Démontrer que les $(D$, A)-bimodules Hom$_A(V,A_s)$ et $V^*=$ Hom$_D(V,D_d)$ sont canoniquement isomorphes.

b) Prouver que le A-module V est générateur si et seulement si la dimension du D-espace vectoriel V est finie.

c) Quel est l’idéal trace du A-module V ?