Exercice 6, § 7

Soit A un anneau quasi-simple.

a) Pour qu’un A-module soit générateur, il faut et il suffit que son dual ne soit pas nul.

b) Soit $\mathfrak{a}$ un idéal à gauche de A et soit D l’anneau End$_A(\mathfrak{a})$. Prouver que $\mathfrak{a}$ est un D-module à droite projectif de type fini et que l’application $a\rightarrow a_{\mathfrak{a}}$ de A dans End$_D(\mathfrak{a})$ est bijective. Pour que l’anneau D soit quasi-simple, il faut et il suffit que le A-module $\mathfrak{a}$ soit projectif de type fini.

c) Démontrer qu’un anneau quasi-simple qui contient un idéal à gauche minimal est simple.