Exercice 12, § 9

a) Pour qu’un anneau A soit sans radical, il faut et il suffit qu’il soit isomorphe à un sous-anneau C d’un produit $\prod_{i\in I}B_i$ d’anneaux primitifs, tel que pr$_i(C) = B_i$ pour tout $i\in I$ (considérer l’ensemble des classes de A-modules simples).

b) Soient V un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps D, B l’anneau End$_D$(V), $\mathfrak{s}$ son socle (cf. VIII, p. 126, exerc. 8). Soit C le sous-anneau de $B\times B$ engendré par $\mathfrak{s}\times s$ et par l’élément unité. Démontrer que C est sans radical, mais n’est pas isomorphe à un produit d’anneaux primitifs.