Exercice 20, § 9

Soit A une algèbre sur un corps commutatif K, telle que $\mathfrak{R}(A)$ soit un nilidéal et que l’algèbre $A/\mathfrak{R}(A)$ soit isomorphe à un produit fini d’algèbres de matrices sur K. Démontrer qu’il existe une sous-algèbre S de A telle que le K-espace vectoriel A soit somme directe de S et de $\mathfrak{R}(A)$ (utiliser les exerc. 18 et 19 ci-dessus, ainsi que l’exerc. 19 de VIII, p. 89).