Exercice 28, § 9

Soient A un anneau absolument plat (exerc. 27)$,n$ un entier.

a) Démontrer que tout sous-module de type fini de $A^n$ admet un supplémentaire (raisonner par récurrence sur $n$, en montrant que $M\cap A^{n-1}$ est de type fini et en choisissant des supplémentaires de $M\cap A^{n-1}$ dans $A^{n-1}$ et de l’image de M dans $Ae_n$).

b) En déduire que l’anneau $\mathbf{M}_n(A)$ est absolument plat (cf. VIII, p. 109, exemple 2).