Exercice 6, § 9

Soit A un anneau.

a) Soient $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ des idéaux bilatères de A. Si $\mathfrak{a}$ et $\mathfrak{b}$ sont nilpotents (resp. des nilidéaux), il en est de même de $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$.

b) Démontrer que la somme $\mathfrak{G}$ de tous les nilidéaux bilatères est un nilidéal bilatère et que la somme $\mathfrak{N}$ de tous les idéaux bilatères nilpotents est un nilidéal bilatère qui contient tous les idéaux nilpotents (VIII, p. 144, exerc. 3).

c) Prouver que $\mathfrak{G}$ est le plus grand nilidéal semi-premier (loc. cit.) de A ; on dit que $\mathfrak{G}$ est le nilradical de A. Si A est commutatif, $\mathfrak{G}$ et $\mathfrak{N}$ sont tous deux égaux à l’ensemble des éléments nilpotents de A.