Exercice 8, § 9

On conserve les notations de l’exerc. 7. Soit A un anneau noethérien à gauche.

a) Prouver que $\mathfrak{N}$ est le plus grand idéal bilatère nilpotent de A et qu’il est égal au radical premier $\mathfrak{P}$ de A.

b) Démontrer que tout nilidéal à gauche ou à droite de A est nilpotent (appliquer l’exerc. 5, a) de VIII, p. 145 à l’anneau $A/\mathfrak{N})$. On a donc $\mathfrak{N}=\mathfrak{P}=\mathfrak{G}$.