Exercice 12, § 1

Soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme d'anneaux qui fasse de B un A-module à droite fidèlement plat ; soit M un A-module. a) Montrer que pour que M soit de type fini (resp. de présentation finie), il faut et il suffit qu'il en soit de même du B-module $B \otimes_A M$. b) On suppose que $\rho(A)$ est contenu dans le centre de B. Montrer que M est plat (resp. fidèlement plat, resp. projectif de type fini) si et seulement si le B-module $B \otimes_A M$ l'est.