Exercice 6, § 2

On garde les notations de l’exercice 5 ; on suppose de plus que A est commutatif, que les complexes C et C’/B(C’) sont plats et qu’il existe un idéal m de A vérifiant $\delta(C) \subset mC$ et $\bigcap_n (B(C) + m^n C) = B(C)$ (* cette dernière condition est toujours vérifiée si A est local noethérien d’idéal maximal m et si $C_n$ est un A-module de type fini pour tout $n$, cf. AC, III, § 3, no 3, prop. 6). \* Montrer alors que $s \theta^{-1}$ est une scission de C’. (Les hypothèses de platitude entraînent $\mathrm{Im}\,(d + \delta) \cap m^n C = (d + \delta)(m^n C)$ pour tout $n$; si $x \in Z(C)$, construire par récurrence des éléments $y_n \in C, z_n \in Z(C) \cap m^n C$ tels que $\delta(x) = \theta d(y_n) + \delta(z_n)$. Conclure à l’aide de l’exercice 5, a).)