Exercice 1, § 3

Algèbre, X, p. 178

Soient $a,b$ deux éléments de A, tels que l’annulateur à gauche de $a$ (resp. $b$ ) soit l’idéal $Ab$ (resp. $Aa$ ). Montrer que la suite

\cdots\longrightarrow A_s\xrightarrow{\delta_a}A_s\xrightarrow{\delta_b}A_s\xrightarrow{\delta_a}A_s\longrightarrow\cdots\longrightarrow A_s\xrightarrow{\delta_a}A_s\longrightarrow A/Aa\longrightarrow0,

où $\delta_a$ (resp. $\delta_b$ ) désigne la multiplication à droite par $a$ (resp. $b$ ), définit une résolution libre du A-module $A/Aa$ . Montrer que cette construction s’applique dans les deux cas suivants :

$\alpha)$ Soit $A_0$ un anneau ; on prend $A=A_0(\varepsilon)$ (X, p. 27), $a=b=\varepsilon$ .

$\beta)$ Soient $G$ un groupe cyclique fini, $\sigma$ un générateur de $G$ , $k$ un anneau commutatif. On prend

A=k^{(G)},\qquad a=1-e_\sigma,\qquad b=\sum_{g\in G}e_g.

Solution

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