Exercice 14, § 3

On suppose que l'anneau A est local nothérien ; on note m son idéal maximal. Soient L un complexe de A-modules de type fini, nul en degrés < 0, M un A-module de type fini, et $q : L \to M$ un morphisme. On fait les hypothèses suivantes : (i) L'homomorphisme $1 \otimes q : (A/m) \otimes_A L_0 \to (A/m) \otimes_A M$ est injectif. (ii) On a $d_i(L_i) \subset mL_{i-1}$ pour $i \geqslant 1$, et l'application

est injective. Soient (P, p) une résolution projective de M, $u : L \to P$ un morphisme tel que $p \circ u = q$. Démontrer que u est injectif et que u(L) est facteur direct de P en tant que A-module gradué (se ramener au cas où la résolution P est minimale, et utiliser VIII, § 8, no 3, cor. 3).