Bài tập 14, § 3

Giả sử vành A là địa phương Noether; ký hiệu m là iđêan cực đại của nó. Cho L là một phức các A-môđun hữu hạn sinh, không ở các bậc < 0, M là một A-môđun hữu hạn sinh, và $q : L \to M$ là một cấu xạ. Ta đặt ra các giả thiết sau: (i) Đồng cấu $1 \otimes q : (A/m) \otimes_A L_0 \to (A/m) \otimes_A M$ là đơn ánh. (ii) Ta có $d_i(L_i) \subset mL_{i-1}$ với $i \geqslant 1$, và ánh xạ

là đơn ánh. Cho (P, p) là một phân giải xạ ảnh của M, $u : L \to P$ là một cấu xạ sao cho $p \circ u = q$. Chứng minh rằng u là đơn ánh và rằng u(L) là một nhân tử trực tiếp của P như một A-môđun phân bậc (rút gọn về trường hợp phân giải P là tối tiểu, và dùng VIII, § 8, No. 3, Hệ quả 3).