Exercice 19, § 3

On suppose l’anneau $A$ commutatif.

a) Soient $(S, d_S)$ une $A$-algèbre différentielle graduée (exercice 18), $M$ un $A$-module, $u : M \to Z_n(S)$ un $A$-homomorphisme. Montrer qu’il existe sur $S \otimes_A T(M)$ une structure de $A$-algèbre différentielle graduée telle que $d(s \otimes 1) = d_S s \otimes 1$ pour $s \in S$ et $d(1 \otimes m) = u(m) \otimes 1$ pour $m \in M$.

b) Soit B une A-algèbre. Montrer qu’il existe une A-algèbre différentielle graduée S et un homomorphisme de A-algèbres $p:S_0\to B$ tels que $(S,p)$ soit une résolution libre du A-module B. (Construire par récurrence sur $n$, à l’aide de a), une algèbre différentielle graduée $S(n)$, libre en chaque degré, telle que $H_i(S(n))=0$ pour $0<i<n$ et $H_0(S(n))=B$.)

c) Si l’algèbre B est commutative, montrer qu’on peut trouver une A-algèbre S alternée (III, p. 53) vérifiant les conditions de b). Si de plus A est noethérien et si B est un quotient de A par un idéal, montrer qu’on peut trouver S de façon que $S_0=A$ et que $S_n$ soit un A-module de type fini pour tout $n$.