Bài tập 19, § 3

Ta giả sử rằng vành $A$ là giao hoán.

a) Cho $(S, d_S)$ là một đại số vi phân phân bậc trên $A$ (bài tập 18), $M$ là một A-môđun, $u : M \to Z_n(S)$ là một A-đồng cấu. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại trên $S \otimes_A T(M)$ một cấu trúc của đại số vi phân phân bậc trên $A$ sao cho $d(s \otimes 1) = d_S s \otimes 1$ với $s \in S$ và $d(1 \otimes m) = u(m) \otimes 1$ với $m \in M$.

b) Cho B là một đại số trên A. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một đại số vi phân phân bậc trên A $S$ và một đồng cấu của các đại số trên A $p:S_0\to B$ sao cho $(S,p)$ là một phân giải tự do của A-môđun B. (Xây dựng bằng quy nạp theo $n$, nhờ a), một đại số vi phân phân bậc $S(n)$, tự do trong mỗi bậc, sao cho $H_i(S(n))=0$ với $0<i<n$ và $H_0(S(n))=B$.)

c) Nếu đại số B là giao hoán, bây giờ chứng minh rằng có thể tìm được một đại số trên A $S$ phản xứng (III, p. 53) thỏa mãn các điều kiện của b). Hơn nữa, nếu A là Noether và nếu B là một thương của A bởi một iđêan, bây giờ chứng minh rằng có thể tìm được S sao cho $S_0=A$ và $S_n$ là một A-môđun sinh hữu hạn với mọi $n$.

☡20) Giả sử rằng vành A là một đại số trên một vành giao hoán $k$. Cho $\eta:k\to A$ là đồng cấu được xác định bởi $\eta(\lambda)=\lambda1_A$ với $\lambda\in k$, và cho $\bar A$ là đối hạt nhân của nó. Nếu $a$ là một phần tử của A, ta sẽ ký hiệu $\bar a$ là lớp của nó trong $\bar A$. Ta đặt

với $n\geq0$, $N_n(A)=0$ với $n<0$, và

a) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một tự đồng cấu $(A,A)$ $d$ của $N(A)$, phân bậc có bậc $(-1)$, sao cho

với $a,a_1,\ldots,a_n,b\in A$.

b) Bây giờ chứng minh rằng $d\mathbin{\circ}d=0$, sao cho $N(A)$ là một phức của các song môđun $(A,A)$. Nếu M là một A-môđun trái, ta ký hiệu $N(A,M)$ là A-phức $N(A)\otimes_A M$.

c) Cho $B(A,M)$ là phân giải chuẩn của M (X, p. 58), $p:B(A,M)\to N(A,M)$ là A-đồng cấu được xác định bởi

với $a_0,\ldots,a_n\in A$, $m\in M$. Bây giờ chứng minh rằng $p$ là một tương đương đồng luân của các A-phức (xây dựng bằng quy nạp một ánh xạ nghịch đảo đến đồng luân).

*21) Cho $k$ là một vành giao hoán, $\mathfrak g$ là một đại số Lie trên $k$, U là đại số bao của nó (xem LIE, I, § 2). Giả sử rằng $\mathfrak g$ là một k-môđun tự do.

(a) Bây giờ chứng minh rằng với mọi $n\geq0$ tồn tại một đồng cấu U đơn ánh

sao cho với $u\in U,x_1,\ldots,x_n\in\mathfrak g$.

Do đó ta định nghĩa một đồng cấu U phân bậc bậc 0 $j:U\otimes_k\Lambda(\mathfrak g)\to B(U,k)$, trong đó $B(U,k)$ là phân giải tiêu chuẩn của U-môđun trái $k$ (cấu trúc U-môđun của $k$ được suy ra từ đồng cấu tự nhiên $U\to k$). Chứng minh rằng $U\otimes_k\Lambda(\mathfrak g)$ được đồng nhất bởi $j$ với một phức con của $B(U,k)$, vi phân được cho bởi công thức:

với $u\in U,x_1,\ldots,x_n\in\mathfrak g$ (trong đó dấu $\hat{\ }$ trên một chữ cái có nghĩa là bỏ chữ cái đó). Ta ký hiệu $V(\mathfrak g)$ là phức U được định nghĩa như vậy.

(b) Chứng minh rằng $V(\mathfrak g)$ xác định một phân giải tự do của U-môđun $k$ (gọi $(U_r)_{r\geq0}$ là lọc tự nhiên của U, $F_rV(\mathfrak g)$ là môđun con-$k$ của $V(\mathfrak g)$ sinh bởi các phần tử $u_p\otimes x_q$ với $u_p\in U_p$, $x_q\in\Lambda^q(\mathfrak g)$, $p+q\leq r$). Chứng minh rằng $F_rV(\mathfrak g)$ là một phức con của $V(\mathfrak g)$, và rằng phức

đẳng cấu với phức $S(\mathfrak g)\otimes\Lambda(\mathfrak g)$ được định nghĩa trong X, p. 151). \*