Exercice 5, § 3

a) Soient $0 \to K \to P \to M \to 0,\ 0 \to K' \to P' \to M \to 0$ deux suites exactes de $A$-modules, avec $P$ et $P'$ projectifs. Montrer qu’il existe un diagramme commutatif :

où les lignes horizontales sont exactes, et où $u$ et $v$ sont des isomorphismes (cf. 11, p. 183, exercice 4).

b) Soient $n$ un entier $\geqslant 0$, $(P, p)$ et $(P', p')$ deux résolutions gauches du $A$-module $M$, telles que $P_j = P'_j = 0$ pour $j > n$ et que les $A$-modules $P_i$ et $P'_i$ soient projectifs pour $0 \leqslant i \leqslant n - 1$. Montrer que les $A$-modules $\bigoplus_{i \geqslant 0} (P_{2i} \oplus P'_{2i+1})$ et $\bigoplus_{j \geqslant 0} (P'_{2j} \oplus P_{2j+1})$ sont isomorphes.

c) Sous les hypothèses de b), montrer qu’il existe deux complexes projectifs $R, R'$, d’homologie nulle, tels que $R_i = R'_i = 0$ pour $i \notin [0, n]$, et un isomorphisme de résolutions $u : P \oplus R \to P' \oplus R'$.