Bài tập 5, § 3

a) Cho $0 \to K \to P \to M \to 0,\ 0 \to K' \to P' \to M \to 0$ là hai dãy khớp của các $A$-môđun, với $P$ và $P'$ xạ ảnh. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một biểu đồ giao hoán:

trong đó các dòng ngang là khớp, và trong đó $u$ và $v$ là các đẳng cấu (xem 11, p. 183, bài tập 4).

b) Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$, $(P, p)$ và $(P', p')$ là hai giải xạ ảnh trái của $A$-môđun $M$, sao cho $P_j = P'_j = 0$ với $j > n$ và các $A$-môđun $P_i$ và $P'_i$ là xạ ảnh với $0 \leqslant i \leqslant n - 1$. Bây giờ chứng minh rằng các $A$-môđun $\bigoplus_{i \geqslant 0} (P_{2i} \oplus P'_{2i+1})$ và $\bigoplus_{j \geqslant 0} (P'_{2j} \oplus P_{2j+1})$ là đẳng cấu.

c) Dưới các giả thiết của b), bây giờ chứng minh rằng tồn tại hai phức xạ ảnh $R, R'$ có đồng điều bằng không, sao cho $R_i = R'_i = 0$ với $i \notin [0, n]$, và một đẳng cấu của các giải $u : P \oplus R \to P' \oplus R'$.