Exercice 2, § 4

Soient $p:A\to B$ un homomorphisme d’anneaux, M un A-module. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

α) On a $\operatorname{Tor}^A_1(p_*(P),M)=0$ pour tout B-module à droite P.

EXERCICES

β) On a Tor^A_1(ρ_*(P), M) = 0 pour tout B-module à droite monogène P. γ) Le B-module B ⊗_A M est plat, et on a Tor^A_1(B, M) = 0. (Pour voir que γ) entraîne α), considérer une suite exacte 0 → R → L → P → 0 de B-modules à droite, où L est libre.)