Bài tập 2, § 4

Cho $p:A\to B$ là một đồng cấu của các vành, M là một A-môđun. Bây giờ chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

α) Ta có $\operatorname{Tor}^A_1(p_*(P),M)=0$ với mọi B-môđun phải P.

BÀI TẬP

β) Ta có Tor^A_1(ρ_*(P), M) = 0 với mọi B-môđun phải đơn sinh P. γ) B-môđun B ⊗_A M là phẳng, và ta có Tor^A_1(B, M) = 0. (Để thấy rằng γ) kéo theo α), xét một dãy khớp 0 → R → L → P → 0 của các B-môđun phải, trong đó L là tự do.)