Exercice 4, § 4

Soit a un idéal bilatère de A. Soit M un A-module, tel que Tor^A_1(A/a, M) = 0 et que le (A/a)-module M/aM soit projectif. a) On suppose, ou bien que M est de présentation finie et a contenu dans le radical de A, ou bien que a est nilpotent. Montrer que M est projectif (utiliser VIII, § 8, no 3, cor. 3). b) On suppose que M est de type fini, que l’on a $\bigcap_n a^n = 0$ et que le (A/a)-module M/aM est libre. Montrer que le A-module M est libre. c) Donner un exemple d’un anneau local A, d’idéal maximal m, et d’un A-module de type fini M non plat tel que Tor^A_1(A/m, M) = 0.