Bài tập 4, § 4

Cho a là một iđêan hai phía của A. Cho M là một A-môđun, sao cho Tor^A_1(A/a, M) = 0 và sao cho (A/a)-môđun M/aM là xạ ảnh. (a) Giả sử hoặc M có phép trình bày hữu hạn và a được chứa trong căn của A, hoặc a là lũy linh. Bây giờ chứng minh rằng M là xạ ảnh (sử dụng VIII, § 8, No. 3, hệ quả 3). (b) Giả sử M là một môđun hữu hạn sinh, rằng ta có $\bigcap_n a^n = 0$ và rằng (A/a)-môđun M/aM là tự do. Bây giờ chứng minh rằng A-môđun M là tự do. (c) Hãy cho một ví dụ về một vành địa phương A, có iđêan cực đại m, và một A-môđun hữu hạn sinh không phẳng M sao cho Tor^A_1(A/m, M) = 0.