Exercice 7, § 4

Soient $C$ un complexe de $A$-modules à droite et $M$ un $A$-module à gauche. On appelle produit de torsion de $C$ et $M$ le $k$-module gradué $\mathscr{T}or^A(C,M)=H(C\otimes_A L(M))$. Si $f:C\to C'$ est un morphisme de complexes et $g:M\to M'$ un homomorphisme de $A$-modules, on note $\mathscr{T}or^A(f,g)=H(f\otimes L(g))$.

a) Si $f:C\to C'$ est un homolomorphisme, $\mathscr{T}or^A(f,1)$ est un isomorphisme ; si $C$ est plat et borné à droite, le $k$-module gradué $\mathscr{T}or^A(C,M)$ est isomorphe à $H(C\otimes_A M)$.

b) Si $0\to C'\to C\to C''\to0$ est une suite exacte de complexes de $A$-modules à droite et si $M$ est un $A$-module, montrer qu’il existe une suite exacte

Si $0\to M'\mathop{\longrightarrow}^{i}M\mathop{\longrightarrow}^{p}M''\to0$ est une suite exacte de $A$-modules, montrer que l’on a une suite exacte :

(Remarquer qu’il existe un homotopisme de $L(M'')$ sur le cône de $L(i)$.)

c) Montrer qu’il existe une suite spectrale $'E$ (X, pp. 175-177, exercices 14 à 17) convergeant vers $\mathscr{T}or^A(C,M)$, telle que

Si de plus le complexe $C$ est borné à droite, montrer qu’il existe une suite spectrale $''E$, convergeant vers $\mathscr{T}or^A(C,M)$, telle que

(considérer le complexe double $C\otimes_A L(M)$).