Bài tập 7, § 4

Cho $C$ là một phức các $A$-môđun phải và $M$ là một $A$-môđun trái. Tích xoắn của $C$ và $M$ được định nghĩa là môđun $k$ phân bậc $\mathscr{T}or^A(C,M)=H(C\otimes_A L(M))$. Nếu $f:C\to C'$ là một cấu xạ của các phức và $g:M\to M'$ là một đồng cấu của các $A$-môđun, ta ký hiệu bởi $\mathscr{T}or^A(f,g)=H(f\otimes L(g))$.

a) Nếu $f:C\to C'$ là một đồng cấu, $\mathscr{T}or^A(f,1)$ là một đẳng cấu; nếu $C$ là phẳng và bị chặn phải, môđun $k$ phân bậc $\mathscr{T}or^A(C,M)$ là đẳng cấu với $H(C\otimes_A M)$.

b) Nếu $0\to C'\to C\to C''\to0$ là một dãy khớp các phức các $A$-môđun phải và nếu $M$ là một $A$-môđun, hãy chứng minh rằng tồn tại một dãy khớp

Nếu $0\to M'\mathop{\longrightarrow}^{i}M\mathop{\longrightarrow}^{p}M''\to0$ là một dãy khớp các $A$-môđun, hãy chứng minh rằng ta có một dãy khớp:

(Nhận xét rằng tồn tại một phép đồng luân từ $L(M'')$ lên nón của $L(i)$.)

c) Hãy chứng minh rằng tồn tại một dãy phổ $'E$ (X, pp. 175-177, các bài tập 14 đến 17) hội tụ đến $\mathscr{T}or^A(C,M)$, sao cho

Nếu hơn nữa phức $C$ là bị chặn phải, hãy chứng minh rằng tồn tại một dãy phổ $''E$, hội tụ đến $\mathscr{T}or^A(C,M)$, sao cho

(xét phức kép $C\otimes_A L(M)$).