Exercice 12, § 6

Soit $G$ un groupe. On dit qu’un $\mathbf Z^{(G)}$-module $M$ est co-induit (resp. induit) s’il existe un $\mathbf Z$-module $A$ tel que $M$ soit isomorphe à $\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(\mathbf Z^{(G)},A)$ (resp. $\mathbf Z^{(G)}\otimes_{\mathbf Z}A$).

a) Tout $\mathbf Z^{(G)}$-module est isomorphe à un sous-module d’un module co-induit et à un quotient d’un module induit.

b) Soit $M$ un $\mathbf Z^{(G)}$-module. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

α) $M$ est facteur direct d’un module co-induit.

β) $M$ est injectif relativement à $\mathbf Z$ (exercice 19, p. 170).

γ) Il existe une $G$-moyenne sur $M$ (I, p. 136, exercice 8), c’est-à-dire un $\mathbf Z^{(G)}$-homomorphisme

(la structure de $G$-module sur $C^1(G,M)$ étant définie par

pour $g\in G$, $x\in M$) tel que si $f_x$ est la fonction constante de valeur $x\in M$, on ait $m(f_x)=x$.

c) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

α) $M$ est facteur direct d’un module induit.

β) $M$ est projectif relativement à $\mathbf Z$ (exercice 19, p. 170).

γ) Il existe un $\mathbf Z$-endomorphisme $\rho$ de $M$ tel que pour tout $x\in M$, la famille $(\rho(g^{-1}x))_{g\in G}$ soit à support fini et que l’on ait

d) Soit $M$ un $\mathbf Z^{(G)}$-module injectif (resp. projectif) relativement à $\mathbf Z$. Montrer que $H^q(G,M)=0$ (resp. $H_q(G,M)=0$) pour tout $q\geq 1$.

e) Si $G$ est fini, montrer que les notions de module induit et co-induit (resp. projectif et injectif relativement à $\mathbf Z$) coïncident.

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