Bài tập 12, § 6

Cho $G$ là một nhóm. Một $\mathbf Z^{(G)}$-môđun $M$ được gọi là cảm sinh đối ngẫu (tương ứng cảm sinh) nếu tồn tại một $\mathbf Z$-môđun $A$ sao cho $M$ đẳng cấu với $\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(\mathbf Z^{(G)},A)$ (tương ứng $\mathbf Z^{(G)}\otimes_{\mathbf Z}A$).

a) Mọi $\mathbf Z^{(G)}$-môđun đều đẳng cấu với một môđun con của một môđun cảm sinh đối ngẫu và với một thương của một môđun cảm sinh.

b) Cho $M$ là một $\mathbf Z^{(G)}$-môđun. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

α) $M$ là một nhân tử trực tiếp của một môđun cảm sinh đối ngẫu.

β) $M$ là đơn ánh tương đối với $\mathbf Z$ (bài tập 19, p. 170).

γ) Tồn tại một trung bình $G$ trên $M$ (I, p. 136, bài tập 8), nghĩa là một $\mathbf Z^{(G)}$-đồng cấu

(cấu trúc $G$-môđun trên $C^1(G,M)$ được xác định bởi

với $g\in G$, $x\in M$) sao cho nếu $f_x$ là hàm hằng có giá trị $x\in M$, thì ta có $m(f_x)=x$.

c) Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

α) $M$ là một nhân tử trực tiếp của một môđun cảm sinh.

β) $M$ là xạ ảnh tương đối với $\mathbf Z$ (bài tập 19, p. 170).

γ) Tồn tại một $\mathbf Z$-tự đồng cấu $\rho$ của $M$ sao cho với mọi $x\in M$, họ $(\rho(g^{-1}x))_{g\in G}$ có giá hữu hạn và ta có

d) Cho $M$ là một $\mathbf Z^{(G)}$-môđun đơn ánh (tương ứng xạ ảnh) tương đối với $\mathbf Z$. Bây giờ chứng minh rằng $H^q(G,M)=0$ (tương ứng $H_q(G,M)=0$) với mọi $q\geq 1$.

e) Nếu $G$ là hữu hạn, bây giờ chứng minh rằng các khái niệm môđun cảm sinh và cảm sinh đối ngẫu (tương ứng xạ ảnh và đơn ánh tương đối với $\mathbf Z$) trùng nhau.

BÀI TẬP