Exercice 18, § 6

Soient G un groupe fini et M un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module. On dit que M est cohomologiquement trivial si pour tout sous-groupe H de G et pour tout $q \in \mathbf{Z}$, le groupe $\hat{H}^q(H, M)$ est nul. a) Montrer qu’un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module projectif relativement à $\mathbf{Z}$ (en particulier un module induit, cf. exercice 12) est cohomologiquement trivial. b) Soient n, r, k trois entiers tels que r divise $(k^n - 1)$; soit G un groupe cyclique d’ordre n, $\sigma$ un générateur de G. On munit le $\mathbf{Z}$-module $M = \mathbf{Z}/r\mathbf{Z}$ de la structure de $\mathbf{Z}^{(G)}$-module définie par $\sigma m = km$ pour tout $m \in M$. Démontrer que M est projectif relativement à $\mathbf{Z}$ si et seulement si n et r sont premiers entre eux. c) Avec les notations de b), montrer que pour que $\hat{H}^q(G, M) = 0$ pour tout $q \in \mathbf{Z}$, il faut et il suffit que l’on ait $(r, k - 1)(r, 1 + k + \cdots + k^{n-1}) = r$. En particulier si $r = k^n - 1$, montrer que M est cohomologiquement trivial. d) Déduire de b) et c) un exemple d’un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module cohomologiquement trivial qui n’est pas projectif relativement à $\mathbf{Z}$, et d’un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module M tel que $\hat{H}^q(G, M) = 0$ pour tout $q \in \mathbf{Z}$ qui n’est pas cohomologiquement trivial.