Bài tập 18, § 6

Cho G là một nhóm hữu hạn và M là một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun. Ta nói rằng M là tầm thường về đồng điều nếu với mọi nhóm con H của G và với mọi $q \in \mathbf{Z}$, nhóm $\hat{H}^q(H, M)$ là không. a) Bây giờ chứng minh rằng một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun xạ ảnh tương đối với $\mathbf{Z}$ (đặc biệt là một môđun cảm sinh, cf. bài tập 12) là tầm thường về đồng điều. b) Cho n, r, k là ba số nguyên sao cho r chia hết cho $(k^n - 1)$; cho G là một nhóm cyclic cấp n, $\sigma$ là một phần tử sinh của G. Ta trang bị cho $\mathbf{Z}$-môđun $M = \mathbf{Z}/r\mathbf{Z}$ cấu trúc của $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun được xác định bởi $\sigma m = km$ với mọi $m \in M$. Chứng minh rằng M là xạ ảnh tương đối với $\mathbf{Z}$ khi và chỉ khi n và r nguyên tố cùng nhau. c) Với các ký hiệu của b), hãy chỉ ra rằng để có $\hat{H}^q(G, M) = 0$ với mọi $q \in \mathbf{Z}$ thì điều kiện cần và đủ là có $(r, k - 1)(r, 1 + k + \cdots + k^{n-1}) = r$. Đặc biệt nếu $r = k^n - 1$, hãy chỉ ra rằng M là tầm thường về đồng điều. d) Suy ra từ b) và c) một ví dụ về một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun tầm thường về đồng điều nhưng không xạ ảnh tương đối với $\mathbf{Z}$, và về một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun M sao cho $\hat{H}^q(G, M) = 0$ với mọi $q \in \mathbf{Z}$ nhưng không tầm thường về đồng điều. ¶19) Cho p là một số nguyên tố, G là một nhóm p, M là một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun. Đặt $A = F_p^{(G)}$. a) Giả sử rằng $pM = 0$. Chỉ ra rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Tồn tại một số nguyên q sao cho $\hat{H}^q(G, M) = 0$.

BÀI TẬP

β) M là tầm thường về đối đồng điều (bài tập 18). γ) M là một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun cảm sinh. δ) A-môđun M là tự do. (Để chứng minh rằng α) suy ra δ), rút gọn về trường hợp $q = -2$; chứng minh rằng khi đó ta có

và kết luận bằng bài tập 4, p. 185 và bài tập 22 của VIII, § 8). b) Giả sử rằng phép nhân với p là đơn ánh trong M. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Tồn tại một số nguyên q sao cho các nhóm $\hat{H}^q(G, M)$ và $\hat{H}^{q+1}(G, M)$ đều không. β) M là tầm thường về đối đồng điều. γ) A-môđun $M/pM$ là tự do. ¶ 20) Cho G là một nhóm hữu hạn, M là một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun. a) Giả sử rằng Z-môđun M là tự do. Chứng minh rằng $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun M là xạ ảnh khi và chỉ khi với mọi nhóm con Sylow H $\subset G$, $\mathbf{Z}^{(H)}$-môđun M là tầm thường về đối đồng điều. (Để chứng minh rằng điều kiện là đủ, xét một phép phân giải $0 \to R \to L \to M \to 0$ của $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun M, trong đó L là tự do; chứng minh rằng $\mathbf{Z}^{(H)}$-môđun Q = Hom$_\mathbf{Z}$(M, N) là tầm thường về đối đồng điều bằng cách nhận thấy rằng Q/pQ là tầm thường về đối đồng điều và bằng cách sử dụng bài tập 19. Suy ra từ bài tập 17, e) rằng ta có $H^1(G, Q) = 0$, và kết luận rằng M là xạ ảnh.) b) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun M là tầm thường về đối đồng điều. β) $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun M thừa nhận một phép phân giải xạ ảnh hữu hạn. γ) $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun M thừa nhận một phép phân giải xạ ảnh có độ dài một. (Để chứng minh rằng α) suy ra γ), xét một dãy khớp $0 \to R \to L \to M \to 0$, trong đó L là một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun tự do, và áp dụng a) cho R.) c) Giả sử rằng Z-môđun M là chia được. Chứng minh rằng $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun M là tầm thường về đối đồng điều khi và chỉ khi nó là đơn ánh (xét một dãy khớp $0 \to M \to I \to Q \to 0$, trong đó I là một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun đơn ánh, và chứng minh, sử dụng b), rằng $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun Hom$_\mathbf{Z}$(Q, M) là tầm thường về đối đồng điều). d) Đối với một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun, để nó là tầm thường về đối đồng điều, điều kiện cần và đủ là nó thừa nhận một phép phân giải đơn ánh có độ dài 1. ¶ 21) Cho G là một nhóm cyclic có cấp hữu hạn. a) Nếu M là một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun và q là một số nguyên hữu tỉ chẵn (tương ứng lẻ), nhóm $\hat{H}^q(G, M)$ là đẳng cấu với $\hat{H}^0(G, M)$ (tương ứng $\hat{H}^1(G, M)$) (xem bài tập 7). b) Gọi $\mathscr{C}$ là tập hợp các lớp của các $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun T sinh hữu hạn sao cho các nhóm $\hat{H}^q(G, T)$ là hữu hạn với mọi $q \in \mathbf{Z}$; nếu $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun M thuộc kiểu $\mathscr{C}$, đặt Cho $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ là một dãy khớp của các $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun. Chứng minh rằng nếu hai trong ba môđun M’, M, M” thuộc kiểu $\mathscr{C}$, thì môđun thứ ba cũng thuộc kiểu $\mathscr{C}$, và khi đó ta có $h(M) = h(M')\ h(M'')$. Đặc biệt, hàm h xác định một đồng cấu từ nhóm Grothendieck K($\mathscr{C}$) vào nhóm nhân $\mathbf{Q}^*$. c) Cho M là một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun hữu hạn. Chứng minh rằng M thuộc kiểu $\mathscr{C}$ và ta có $h(M) = 1$. d) Giả sử rằng cấp của G là một số nguyên tố p. Gọi $\mathscr{C}'$ là tập hợp các lớp của các $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun sinh hữu hạn trong đó phép nhân với p có hạt nhân và đối hạt nhân hữu hạn; nếu M thuộc kiểu $\mathscr{C}'$, đặt $\varphi(M) = \operatorname{Card}(\operatorname{Coker} p_M)/\operatorname{Card}(\operatorname{Ker} p_M)$. Chứng minh như trong b) rằng $\varphi$ xác định một đồng cấu từ K($\mathscr{C}'$) vào $\mathbf{Q}^*$. e) Chứng minh rằng K($\mathscr{C}'$) được sinh bởi các lớp của các $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun T có một trong các tính chất sau: (i) T là hữu hạn. (ii) Phép nhân với p trong T là song ánh. (iii) $T = \mathbf{Z}$ được trang bị tác động tầm thường của G. (iv) $T = \mathbf{Z}^{(G)}$. (v) $T = \mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p$ (xem TG, III, p. 84, bài tập 23), được trang bị tác động tầm thường của G. (vi) $T = \mathbf{Z}^{(G)} \otimes_\mathbf{Z} (\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)$. (Trước hết chứng minh rằng mọi $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun thuộc kiểu $\mathscr{C}'$ có thể được viết trong K($\mathscr{C}'$) như tổng của một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun hữu hạn kiểu trên $\mathbf{Z}$ và của một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun trong đó phép nhân với p là toàn ánh. Sau đó xác định cấu trúc của các môđun đơn trên các vành $\mathbf{Q}^{(G)}$ và $\mathbf{Q}_p^{(G)}$.)

g) Suy ra từ những điều đã xét ở trên rằng ta có $\mathscr{C}' \subset \mathscr{C}$ và rằng nếu M là một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun kiểu $\mathscr{C}'$, thì ta có

(Kiểm tra công thức trong sáu trường hợp đã xét trong f).) 22) Cho K là một trường giao hoán, L là một mở rộng Galois hữu hạn của K, G là nhóm Galois của nó. a) Chứng minh rằng dãy khớp của các G-môđun cho phép định nghĩa một đẳng cấu $k_L : (L^n \cap K^*)/K^{*n} \to H^1(G, \mu_n(L))$. Khi $\mu_n(K)$ có n phần tử và khi đồng nhất $H^1(G, \mu_n(L))$ với Hom $(G, \mu_n(K))$, chứng minh rằng $k_L$ trùng với đồng cấu được định nghĩa trong V, § 11, No. 8. b) Cho p là một số nguyên tố; giả sử rằng K có đặc số p. Chứng minh rằng dãy khớp của các G-môđun (V, § 11, No. 9) cho phép định nghĩa một đẳng cấu $a_L : (p(L) \cap K)/p(K) \to H^1(G, F_p)$ trùng với đồng cấu được định nghĩa trong loc. cit. nếu đồng nhất $H^1(G, F_p)$ với Hom $(G, F_p)$. 23) Cho G là một nhóm, M là một nhóm có các toán tử trong G (I, p. 29, Định nghĩa 2). Ta sẽ ký hiệu bởi $^g m$ hợp thành của $g \in G$ và $m \in M$. Ta sẽ nói rằng M là một G-nhóm nếu có $^h(^g m) = ^{hg} m$ với $m \in M, g, h \in G$, nói cách khác nếu ánh xạ $\varphi$ từ G vào Aut (M) sao cho $\varphi(g).m = ^g m$ với $g \in G, m \in M$ là một đồng cấu. Nếu M là một G-nhóm, ta ký hiệu bởi $H^0(G, M)$ nhóm con của M tạo bởi các phần tử $m \in M$ sao cho $^g m = m$ với mọi $g \in G$, và bởi $Z^1(G, M)$ tập hợp các ánh xạ $h$ từ G vào M sao cho a) Ta nói rằng hai phần tử $h_1, h_2$ của $Z^1(G, M)$ là đồng điều nếu tồn tại một phần tử m của M sao cho $h_2(g) = m^{-1}\ h_1(g)\ ^g m$ với mọi $g \in G$. Chứng minh rằng quan hệ được định nghĩa như vậy là một quan hệ tương đương trên $Z^1(G, M)$; tập thương được ký hiệu là $H^1(G, M)$. Lớp trong $H^1(G, M)$ của ánh xạ $i \in Z^1(G, M)$ sao cho $i(g) = 1_M$ với mọi $g \in G$ được ký hiệu bởi $e_{G, M}$ hoặc đơn giản là $e_M$. b) Cho $f : M \to N$ là một đồng cấu của các G-nhóm (I, p. 30, Định nghĩa 3); chứng minh rằng $f$ cảm sinh một đồng cấu nhóm $f^0 : H^0(G, M) \to H^0(G, N)$, và một ánh xạ $f^1 : H^1(G, M) \to H^1(G, N)$ sao cho $f^1(e_M) = e_N$. c) Cho $M \xrightarrow{i} N \xrightarrow{p} Q$ là một dãy khớp của các G-nhóm và các đồng cấu, với i đơn ánh, p toàn ánh và Chứng minh rằng nhóm $N' = p^{-1}(H^0(G, Q))$ tác động lên $Z^1(G, M)$ theo cách sao cho $(n.h)(g) = n^{-1}\ h(g)\ ^gn$ với $n \in N', h \in Z^1(G, M), g \in G$; chứng minh rằng tác động này xác định, bằng cách chuyển qua tập thương, một tác động của $H^0(G, Q)$ trên $H^1(G, M)$. Ánh xạ $i^1 : H^1(G, M) \to H^1(G, N)$ chuyển qua tập thương và xác định một song ánh của $H^1(G, M)/H^0(G, Q)$ lên $\operatorname{Im}(i^1)$. d) Tác động của $H^0(G, Q)$ trên $H^1(G, M)$ cho phép định nghĩa một ánh xạ $\partial : H^0(G, Q) \to H^1(G, M)$ bởi $\partial(q) = q.e_M$ với $q \in H^0(G, Q)$. Chứng minh rằng ta có e) Giả sử bây giờ rằng $i(M)$ được chứa trong tâm của N. Chứng minh rằng $\partial$ là một đồng cấu nhóm; xây dựng một tác động của nhóm $H^1(G, M)$ trên tập hợp $H^1(G, N)$ sao cho ánh xạ $p^1$ chuyển qua tập thương và xác định một song ánh của $H^1(G, N)/H^1(G, M)$ lên $\operatorname{Im}(p^1)$. f) Cho E là tập hợp các ánh xạ $k$ từ G vào N sao cho $p \circ k \in Z^1(G, Q)$. Với $k \in E$, chứng minh rằng tồn tại một phần tử $f_k$ của $Z^2(G, M)$ sao cho $i(f_k(x, y)) = k(x)\ ^xk(y)\ (k(xy))^{-1}$ với $x, y \in G$. Chứng minh rằng ánh xạ $k \mapsto f_k$ xác định, bằng cách chuyển qua tập thương, một ánh xạ $\partial^1 : H^1(G, Q) \to H^2(G, M)$. Chứng minh rằng ta có $\operatorname{Im}(p^1) = (\partial^1)^{-1}(0)$. 24) Cho K là một trường giao hoán, L là một mở rộng Galois hữu hạn của K, với nhóm Galois G. Cho V (tương ứng V’) là một không gian vectơ trên K, t (tương ứng t’) là một tenxơ kiểu $(p, q)$ trên V (tương ứng V’) (III, p. 63). Ta gọi một K-đẳng cấu (hoặc đơn giản là một đẳng cấu) của $(V, t)$ lên $(V', t')$ là một đẳng cấu K-tuyến tính $u : V \to V'$ sao cho $(\mathbf{T}^p(u) \otimes \mathbf{T}^q(\tilde{u}))\ (t) = t'$. Ta sẽ ký hiệu bởi $V_L$ không gian vectơ trên L $L \otimes_K V$ và bởi $t_L$ tenxơ kiểu $(p, q)$ trên $V_L$ suy ra từ t bằng mở rộng vô hướng. Ta ký hiệu bởi $F_{L/K}(V, t)$ tập hợp các lớp đẳng cấu của các cặp $(W, \tau)$ sao cho $(W_L, \tau_L)$ là L-đẳng cấu với $(V_L, t_L)$.

BÀI TẬP

(a) Cho M là nhóm các tự đẳng cấu L của $(V_L, t_L)$. Với $m \in M$ và $\sigma \in G$, đặt

trong đó $\pi_V : G \to \mathrm{Aut}_K(V_L)$ biểu thị tác động của G lên $V_L = L \otimes_K V$ suy ra từ tác động của G lên L. Bây giờ chứng minh rằng như vậy ta xác định được một cấu trúc nhóm G trên M. (b) Cho $(W, \tau)$ là một phần tử của $F_{L/K}(V, t)$, và cho $u$ là một đẳng cấu L của $(V_L, t_L)$ lên $(W_L, \tau_L)$. Với $\sigma \in G$, ký hiệu bởi $f_u(\sigma)$ phần tử $u^{-1} \circ \pi_W(\sigma) \circ u \circ \pi_V(\sigma)^{-1}$ của M. Bây giờ chứng minh rằng $f_u \in Z^1(G, M)$ (bài tập 23), và rằng lớp của nó trong $H^1(G, M)$ là độc lập với lựa chọn của $u$; ký hiệu nó bởi $\theta(W, \tau)$. (c) Bây giờ chứng minh rằng ánh xạ $\theta : F_{L/K}(V, t) \to H^1(G, M)$ là song ánh, và rằng ta có $\theta(V, t) = e_M$.

¶25) Cho K là một trường giao hoán, L là một mở rộng Galois hữu hạn của K, G là nhóm Galois của nó. Ta cho G tác động lên nhóm $\mathbf{GL}(n, L)$ bằng cách đặt $\sigma(a_{ij}) = (\sigma(a_{ij}))$ với $\sigma \in G$, $(a_{ij}) \in \mathbf{GL}(n, L)$. Mọi nhóm con của $\mathbf{GL}(n, L)$ ổn định đối với tác động này do đó được trang bị một cấu trúc nhóm-G của G (bài tập 23). a) Bây giờ chứng minh rằng các tập hợp $H^1(G, \mathbf{GL}(n, L))$ và $H^1(G, \mathbf{SL}(n, L))$ được thu gọn thành một phần tử (xem V, § 10, no 5, mệnh đề 9). b) Bây giờ chứng minh rằng tập hợp $H^1(G, \mathbf{PGL}(n, L))$ đồng nhất với tập hợp các lớp đẳng cấu của các đại số đơn tâm S sao cho đại số $L \otimes_K S$ đẳng cấu với $M_n(L)$ (sử dụng bài tập 24). Bằng cách gán cho một đại số như vậy lớp của nó trong nhóm Br(K, L) (VIII, § 13) và bằng cách đồng nhất nhóm cuối cùng này với $H^2(G, L^*)$ (ntd.), ta thu được một ánh xạ $H^1(G, \mathbf{PGL}(n, L)) \to H^2(G, L^*)$ là đối của ánh xạ $\partial^1$ (bài tập 23, f)) suy ra từ mở rộng $L^* \to \mathbf{GL}(n, L) \to \mathbf{PGL}(n, L)$. Bây giờ chứng minh rằng ảnh của $\partial^1$ được tạo thành bởi các phần tử có cấp n trong $H^2(G, L^*)$. c) Bây giờ chứng minh rằng tập hợp $H^1(G, \mathbf{Sp}(2n, L))$ được thu gọn thành một phần tử (xem IX, § 5, no 1, định lý 1). d) Cho Q là một dạng toàn phương trên không gian vectơ trên K V, $Q_L$ là dạng toàn phương suy ra từ nó trên $L \otimes_K V$. Bây giờ chứng minh rằng $H^1(G, O(Q_L))$ đồng nhất với tập hợp các lớp đẳng cấu của các dạng toàn phương Q’ trên V sao cho $Q'_L$ đẳng cấu với $Q_L$. 26) Ta ký hiệu bởi $A^e$ đại số trên k $A \otimes_k A^0$; mọi song môđun $(A, A)$ được trang bị một cách tự nhiên một cấu trúc môđun trái $A^e$ và đồng thời một cấu trúc môđun phải $A^e$. Cho M là một song môđun $(A, A)$, $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$; ta đặt:

a) K-môđun $H_0(A, M)$ đẳng cấu với thương của M bởi K-môđun con sinh bởi các phần tử $(am - ma)$ với $a \in A, m \in M$; K-môđun $H^0(A, M)$ đẳng cấu với K-môđun con của M tạo thành bởi các phần tử m sao cho $am = ma$ với mọi $a \in A$. K-môđun $H^1(A, M)$ đồng nhất với thương của K-môđun các đạo hàm $D_k(A, M)$ bởi K-môđun con các đạo hàm nội, nghĩa là các đạo hàm $d_m$, với $m \in M$, được định nghĩa bởi $d_m(a) = am - ma$ với mọi $a \in A$ (xem III, p. 132). b) Dưới giả thiết rằng A là một K-môđun xạ ảnh. Bây giờ chứng minh rằng giải chuẩn B(A) (X, p. 58) xác định một giải xạ ảnh của môđun trái $A^e$ A. Suy ra rằng các K-môđun $H^n(A, M)$ đẳng cấu với các môđun đồng điều của phức $C(A, M)$, trong đó, với $p \geqslant 0$, $C^p(A, M)$ là K-môđun các ánh xạ K-đa tuyến tính từ $A^p$ vào M, $C^p(A, M) = 0$ với $p < 0$, vi phân được cho bởi công thức: với $f \in C^p(A, M)$, $x_0, ..., x_p \in A$. Cho một biểu thức tương tự cho các K-môđun $H_n(A, M)$. c) Dưới giả thiết của b), cho $\rho : k \to k'$ là một đồng cấu của các vành giao hoán, $A'$ là đại số trên $k'$ $k' \otimes_k A$, $M'$ là một song môđun $(A', A')$. Bây giờ chứng minh rằng các K-môđun $H_n(A, M')$ và $H_n(A', M')$ (tương ứng $H^n(A, M')$ và $H^n(A', M')$) đẳng cấu. d) Bây giờ giả sử rằng k là một trường. Cho B là một đại số trên k thứ hai (kết hợp và có đơn vị), M là một song môđun $(A, A)$, N là một song môđun $(B, B)$. Với mọi $n \geqslant 0$, định nghĩa một đẳng cấu của các K-môđun Nếu hơn nữa giả sử rằng A và B có số chiều hữu hạn trên k, bây giờ chứng minh rằng tương tự tồn tại một K-đẳng cấu (sử dụng X, p. 76, định lý 3).

e) Cho M, N là hai A-môđun trái, P là một A-môđun phải, sao cho các K-môđun Hom_k(M, N) và M $\otimes_k$ P có các cấu trúc tự nhiên của các (A, A)-song môđun. Định nghĩa, với mọi $n \geq 0$, các đẳng cấu của K-môđun:

**T 27) Một tăng cường của đại số trên K A được gọi là một đồng cấu có đơn vị của các đại số trên K $\pi : A \to k$; cặp (A, $\pi$) được gọi là một đại số trên K có tăng cường. Tăng cường trang bị cho k một cấu trúc A-môđun trái. Cho M là một A-môđun trái, N là một A-môđun phải; ta đặt

a) Ta ký hiệu bởi $M_{(\pi)}$ (tương ứng $N_{(\pi)}$) nhóm M (tương ứng N) được trang bị cấu trúc (A, A)-song môđun xác định bởi:

Chứng minh rằng K-môđun $H_0(A, \pi ; N)$ (tương ứng $H^0(A, \pi ; M)$, tương ứng $H^1(A, \pi ; M)$) là đẳng cấu với K-môđun $H_0(A, N_{(\pi)})$ (tương ứng $H^0(A, M_{(\pi)})$, tương ứng $H^1(A, M_{(\pi)})$) được định nghĩa trong bài tập 26.

b) Bây giờ giả sử rằng A là một K-môđun xạ ảnh. Định nghĩa, dùng phân giải chuẩn (X, p. 58), các đẳng cấu K $\varphi_n : H_n(A, N_{(\pi)}) \to H_n(A, \pi ; N)$ và $\varphi^n : H^n(A, M_{(\pi)}) \to H^n(A, \pi ; M)$ với mọi $n \geq 0$.

c) Giả sử tồn tại một đồng cấu của các đại số trên K $\rho : A \to A^e$ làm cho $A^e$ là một A-môđun phải xạ ảnh và sao cho iđêan trái của $A^e$ sinh bởi $\rho(\mathrm{Ker}\ \pi)$ là hạt nhân của đồng cấu $A \otimes_k A^e \to A$ được xác định bởi phép nhân trong A. Chứng minh rằng tồn tại, với mọi (A, A)-song môđun Q và mọi số nguyên $n \geq 0$, các đẳng cấu K $H_n(A, \pi ; Q) \to H_n(A, Q)$ (tương ứng $H^n(A, \pi ; Q) \to H^n(A, Q)$), Q được coi là một A-môđun phải (tương ứng A-môđun trái) qua đồng cấu $\rho$. (Dùng các đồng cấu chính tắc của X, p. 109.)

d) Chứng minh rằng các giả thiết của c) được thỏa mãn trong các trường hợp sau: α) A là đại số (trên k) của một nhóm G, $\rho$ được định nghĩa bởi $\rho(e_g) = e_g \otimes e_{g^{-1}}$. β) A là đại số tenxơ (tương ứng đại số đối xứng) của một K-môđun xạ ảnh V; $\rho$ được định nghĩa bởi

\* γ) A là đại số bao phủ của một đại số Lie g trên k, tự do như một K-môđun; ta có

(dùng hệ quả 5 của định lý 1 của LIE I, § 2, số 7).

δ) A là vành các hàm của một nhóm đại số trơn G trên một trường k; ta lấy

\* 28) Cho g là một đại số Lie trên vành giao hoán k, U là đại số bao phủ của nó. Ta trang bị cho k cấu trúc của một U-môđun trái tương ứng với biểu diễn tầm thường của g. Cho N là một g-môđun phải, M là một g-môđun trái, n là một số nguyên $\geq 0$; ta đặt

a) K-môđun $H_0(g, N)$ (tương ứng $H^0(g, M)$) là đẳng cấu với $N/Ng$ (tương ứng với môđun con của M gồm các phần tử bị triệt tiêu bởi g). Ta ký hiệu bởi $Z^1(g, M)$ (tương ứng $B^1(g, M)$) môđun con trên K của $\mathrm{Hom}_k(g, M)$ gồm các phần tử f sao cho $f([x, y]) = xf(y) - yf(x)$ với $x, y \in g$ (tương ứng bởi các phần tử $f_m$, với $m \in M$, sao cho $f_m(x) = xm$ với $x \in g$). Chứng minh rằng $H^1(g, M)$ được đồng nhất với thương $Z^1(g, M)/B^1(g, M)$.

b) Bây giờ giả sử rằng g là một K-môđun tự do. Chứng minh rằng các K-môđun $H^n(g, M)$ được đồng nhất với các môđun đồng điều của phức $C(g, M)$, trong đó với $p \geq 0$, $C^p(g, M)$ là K-môđun của các ánh xạ đa tuyến phản xứng từ $g^p$ vào M, $C^p(g, M) = 0$ với $p < 0$, vi phân được cho bởi công thức

đối với $f \in C^p(g, M)$, $x_1, ..., x_{p+1} \in g$ (trong đó dấu $\hat{}$ trên một chữ cái có nghĩa là chữ cái đó được bỏ đi).

Hãy cho một biểu thức tương tự cho các $k$-môđun $H_p(\mathfrak{g},M)$. (Dùng X, p. 184, bài tập 21.)

c) Giả sử rằng $\dim_k(\mathfrak{g})=n<\infty$. Bây giờ chứng minh rằng $H^p(\mathfrak{g},M)=0$ với mọi $p>n+1$ và mọi $\mathfrak{g}$-môđun $M$, và rằng tồn tại một $\mathfrak{g}$-môđun $N$ sao cho $H^n(\mathfrak{g},N)\neq0$ (lấy $N=\Lambda^n\mathfrak{g}$, trong đó $\mathfrak{g}$ tác động theo công thức

bây giờ chứng minh rằng $df=0$ với mọi $f\in C^{n-1}(\mathfrak{g},N)$.

d) Biểu diễn phụ hợp của $\mathfrak{g}$ và biểu diễn của $\mathfrak{g}$ trên $M$ xác định một biểu diễn $\theta$ của $\mathfrak{g}$ trong $C(\mathfrak{g},M)$, sao cho

với $f\in C^p(\mathfrak{g},M)$, $x,x_1,\ldots,x_p\in\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng, với mọi $x\in\mathfrak{g}$, $\theta(x)$ là một tự đồng cấu đồng luân với không của phức $C(\mathfrak{g},M)$ (định nghĩa một phép đồng luân $i(x)$ bằng cách đặt $(i(x)f)(x_1,\ldots,x_p)=f(x,x_1,\ldots,x_p)$). \* 29) Ta giữ lại các ký hiệu của bài tập trước; giả sử thêm rằng $k$ là một trường có đặc số không, và rằng đại số Lie $\mathfrak{g}$ là nửa đơn (LIE, I, § 6). Cho $M$ là một $\mathfrak{g}$-môđun có số chiều hữu hạn trên $k$.

a) Nếu $M$ là đơn và không tầm thường, ta có $H^p(\mathfrak{g},M)=0$ với mọi $p>0$ (dạng song tuyến tính trên $\mathfrak{g}$ liên kết với $M$ là không suy biến (LIE, I, § 6, No. 1, mệnh đề 1); nhận xét rằng phép nhân bởi phần tử Casimir tương ứng (LIE, I, § 3, No. 7) là không trong $k$ và song ánh trong $M$).

b) Bây giờ chứng minh rằng $H^1(\mathfrak{g},M)=0$ bất kể $M$ là gì (dùng a) và sự kiện rằng $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}$). Ngược lại, một $k$-đại số Lie $\mathfrak{h}$ (có số chiều hữu hạn) sao cho $H^1(\mathfrak{h},M)=0$ đối với mọi $\mathfrak{h}$-môđun $M$ có số chiều hữu hạn là nửa đơn.

c) Trang bị cho $k$ cấu trúc của một $\mathfrak{g}$-môđun tương ứng với biểu diễn tầm thường. Bây giờ chứng minh rằng, với mọi $p>0$, không gian vectơ $k$ $H^p(\mathfrak{g},k)$ là đẳng cấu với không gian con vectơ của $C^p(\mathfrak{g},k)$ được tạo thành bởi các dạng $p$-tuyến tính phản xứng $f$ là bất biến, nghĩa là sao cho

(Suy ra từ tính nửa đơn của các biểu diễn của $\mathfrak{g}$ và từ bài tập 28, d) rằng $H^p(\mathfrak{g},k)$ là đẳng cấu với $H^p(C_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{g}),k)$, trong đó $C_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{g})$ là phức con của $C(\mathfrak{g},k)$ bị triệt tiêu bởi mọi tự đồng cấu $\theta(x)$ với $x\in\mathfrak{g}$; sau đó bây giờ chứng minh rằng $C_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{g})$ có vi phân không.)

d) Suy ra từ c) rằng $H^2(\mathfrak{g},M)=0$ với mọi môđun $\mathfrak{g}$-môđun $M$ có số chiều hữu hạn trên $k$. (Chứng minh rằng mọi dạng song tuyến tính bất biến trên $\mathfrak{g}$ là đối xứng, bằng cách quy về trường hợp $\mathfrak{g}$ đơn và $k$ đóng đại số.) \*