Exercice 1, § 7

Soient $k$ un anneau commutatif, $A$ une $k$-algèbre associative et unifère, $M$ un $(A,A)$-bimodule. On appelle extension de $A$ par $M$ la donnée d’une $k$-algèbre $B$ associative et unifère et d’une suite exacte de $k$-modules

où $p$ est un homomorphisme d’algèbres et où

Deux extensions $0\longrightarrow M\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}A\longrightarrow0$ et $0\longrightarrow M\xrightarrow{i'}B'\xrightarrow{p'}A\longrightarrow0$ sont dites équivalentes s’il existe un homomorphisme d’algèbres $u:B\longrightarrow B'$ tel que $p'\circ u=p$ et $u\circ i=i'$; l’homomorphisme $u$ est alors bijectif.

a) On suppose que la suite exacte de $k$-modules $0\longrightarrow M\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}A\longrightarrow0$ est scindée; soit $s:A\longrightarrow B$ une section $k$-linéaire de $p$. Montrer qu’il existe un élément $f\in C^2(A,M)$ (X, p. 195, exercice 26, b)) tel que

pour $a,a'\in A$. Montrer que $f$ est un $2$-cocycle et que sa classe dans $H^2(A,M)$ est indépendante du choix de $s$; on la note $(\mathscr{E})$.

b) Soit $Ex_k(A,M)$ l’ensemble des classes d’équivalence d’extensions de $A$ par $M$ qui sont triviales comme extensions de $k$-modules. Montrer que $c$ définit une bijection de $Ex_k(A,M)$ sur $H^2(A,M)$.

c) Soient $\mathscr{E}:0\to M \xrightarrow{i} B \xrightarrow{p} A\to0$ et $\mathscr{E}':0\to M \xrightarrow{i'} B' \xrightarrow{p'} A\to0$ deux extensions de $A$ par $M$. On note $C$ la sous-algèbre de $B\times B'$ formée des éléments $(b,b')$ tels que $p(b)=p'(b')$, $c$ l’idéal de $C$ formé des éléments $(i(m),-i'(m))$ pour $m\in M$, $\overline{B}$ l’algèbre $C/c$, $\pi:C\to\overline{B}$ l’homomorphisme de passage au quotient. Soient $i'':M\to\overline{B}$ et $p'':\overline{B}\to A$ les homomorphismes tels que $i''(m)=\pi((m,0))$ pour $m\in M$ et $p''\pi((b,b'))=p(b)$ pour $b\in B,b'\in B'$. Montrer que la suite $0\to M\to\overline{B}\to A\to0$ est une extension de $A$ par $M$, appelée extension somme de $(\mathscr{E})$ et $(\mathscr{E}')$, et que l’on définit ainsi une loi de groupe commutatif sur l’ensemble des classes d’équivalence d’extensions de $A$ par $M$. En particulier, l’ensemble $Ex_k(A,M)$ est muni ainsi d’une structure de groupe, et l’application $c$ est un isomorphisme de groupes.