Bài tập 1, § 7

Cho $k$ là một vành giao hoán, $A$ là một $k$-đại số kết hợp và có đơn vị, $M$ là một $(A,A)$-song môđun. Ta gọi mở rộng của $A$ bởi $M$ là dữ liệu gồm một $k$-đại số $B$ kết hợp và có đơn vị và một dãy khớp của các $k$-môđun

trong đó $p$ là một đồng cấu của các đại số và

Hai mở rộng $0\longrightarrow M\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}A\longrightarrow0$ và $0\longrightarrow M\xrightarrow{i'}B'\xrightarrow{p'}A\longrightarrow0$ được gọi là tương đương nếu tồn tại một đồng cấu của các đại số $u:B\longrightarrow B'$ sao cho $p'\circ u=p$ và $u\circ i=i'$; khi đó đồng cấu $u$ là song ánh.

(a) Giả sử rằng dãy khớp của các $k$-môđun $0\longrightarrow M\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}A\longrightarrow0$ là tách; gọi $s:A\longrightarrow B$ là một tiết diện $k$-tuyến tính của $p$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một phần tử $f\in C^2(A,M)$ (X, p. 195, bài tập 26, b)) sao cho

với $a,a'\in A$. Bây giờ chứng minh rằng $f$ là một $2$-cocycle và lớp của nó trong $H^2(A,M)$ độc lập với lựa chọn $s$; ta ký hiệu nó bởi $(\mathscr{E})$.

(b) Gọi $Ex_k(A,M)$ là tập hợp các lớp tương đương của các mở rộng của $A$ bởi $M$ vốn tầm thường như các mở rộng của các $k$-môđun. Bây giờ chứng minh rằng $c$ xác định một song ánh từ $Ex_k(A,M)$ lên $H^2(A,M)$.

c) Cho $\mathscr{E}:0\to M \xrightarrow{i} B \xrightarrow{p} A\to0$ và $\mathscr{E}':0\to M \xrightarrow{i'} B' \xrightarrow{p'} A\to0$ là hai mở rộng của $A$ bởi $M$. Gọi $C$ là đại số con của $B\times B'$ tạo bởi các phần tử $(b,b')$ sao cho $p(b)=p'(b')$, $c$ là iđêan của $C$ tạo bởi các phần tử $(i(m),-i'(m))$ với $m\in M$, $\overline{B}$ là đại số $C/c$, $\pi:C\to\overline{B}$ là đồng cấu chuyển qua thương. Gọi $i'':M\to\overline{B}$ và $p'':\overline{B}\to A$ là các đồng cấu sao cho $i''(m)=\pi((m,0))$ với $m\in M$ và $p''\pi((b,b'))=p(b)$ với $b\in B,b'\in B'$. Chứng minh rằng dãy $0\to M\to\overline{B}\to A\to0$ là một mở rộng của $A$ bởi $M$, được gọi là mở rộng tổng của $(\mathscr{E})$ và $(\mathscr{E}')$, và rằng bằng cách này ta xác định một luật nhóm giao hoán trên tập hợp các lớp tương đương của các mở rộng của $A$ bởi $M$. Đặc biệt, tập hợp $Ex_k(A,M)$ được trang bị theo cách này một cấu trúc nhóm, và ánh xạ $c$ là một đẳng cấu nhóm.