Exercice 10, § 7

Algèbre, X, p. 201

Soit B une k-bigèbre (III, p. 148), que l'on considère comme une k-algèbre augmentée (X, p. 196, exercice 27) par la coïnité $\beta : B \to k$ ; on suppose que le k-module B est projectif.

a) Soient M, N deux B-modules à gauche. L'homomorphisme $\vee$ de l'exercice 7 s'identifie à un homomorphisme gradué de degré zéro

H'(B, \gamma; M) \otimes_k H'(B, \gamma; N) \to H'(B \otimes_k B, \gamma \otimes \gamma; M \otimes_k N);

par composition avec l'homomorphisme déduit de la comultiplication, en déduire un homomorphisme gradué de degré zéro $\cup : H'(B, \gamma; M) \otimes_k H'(B, \gamma; N) \to H'(B, \gamma; M \otimes_k N)$ .

b) Soit C une k-algèbre associative et unifière, que l'on munit de la structure de B-module déduite de $\gamma$ . Montrer que l'homomorphisme $\cup$ définit sur $H'(B, \gamma; C)$ une structure de k-algèbre graduée associative et unifière ; si C est commutative et si la bigèbre B est cocommutative, l'algèbre $H'(B, \gamma; C)$ est anticommutative.

c) On prend $C = k$ . Montrer que le produit $\cup$ coïncide avec le produit de composition sur $\mathrm{Ext}_B(k, k)$ .

d) Soient G un groupe, M et N deux $\mathbf{Z}^{(G)}$ -modules. On munit $M \otimes_Z N$ de la structure de $\mathbf{Z}^{(G)}$ -module définie par $g(x \otimes y) = gx \otimes gy$ pour $g \in G, x \in M, y \in N$ . Montrer que l'application

\cup : H'(G, M) \otimes_Z H'(G, N) \to H'(G, M \otimes_Z N)

est l'homomorphisme induit sur l'homologie par l'homomorphisme gradué de degré zéro

u : C'(G, M) \otimes_Z C'(G, N) \to C'(G, M \otimes_Z N)

défini par $u(f \otimes h)(g_1, ..., g_{p+q}) = f(g_1, ..., g_p) \otimes g_1, ..., g_p h(g_{p+1}, ..., g_{p+q})$ pour

f \in C^p(G, M), \quad h \in C^q(G, N), \quad g_1 ... g_{p+q} \in G.

(Utiliser l'exercice 5, p. 185.)

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