Bài tập 10, § 7

Đại số, X, p. 201

Cho $B$ là một k-bigebra (III, p. 148), được xem như một k-đại số mở rộng (X, p. 196, bài tập 27) bởi đồng đơn vị $\beta : B \to k$ ; giả sử rằng k-môđun B là xạ ảnh.

(a) Cho M, N là hai B-môđun trái. Đồng cấu $\vee$ của bài tập 7 được đồng nhất với một đồng cấu phân bậc bậc không

H'(B, \gamma; M) \otimes_k H'(B, \gamma; N) \to H'(B \otimes_k B, \gamma \otimes \gamma; M \otimes_k N);

bằng cách hợp thành với đồng cấu suy ra từ phép đồng cấu, suy ra một đồng cấu phân bậc bậc không $\cup : H'(B, \gamma; M) \otimes_k H'(B, \gamma; N) \to H'(B, \gamma; M \otimes_k N)$ .

(b) Cho C là một k-đại số kết hợp và có đơn vị, được trang bị cấu trúc B-môđun suy ra từ $\gamma$ . Chứng minh rằng đồng cấu $\cup$ xác định trên $H'(B, \gamma; C)$ một cấu trúc của một k-đại số phân bậc kết hợp và có đơn vị; nếu C giao hoán và nếu bigebra B là đối giao hoán, đại số $H'(B, \gamma; C)$ là phản giao hoán.

(d) Cho G là một nhóm, M và N là hai $\mathbf{Z}^{(G)}$ -môđun. Ta trang bị $M \otimes_Z N$ với cấu trúc của $\mathbf{Z}^{(G)}$ -môđun được xác định bởi $g(x \otimes y) = gx \otimes gy$ với $g \in G, x \in M, y \in N$ . Chứng minh rằng ánh xạ

\cup : H'(G, M) \otimes_Z H'(G, N) \to H'(G, M \otimes_Z N)

là đồng cấu cảm sinh trên đồng điều bởi đồng cấu phân bậc bậc không

u : C'(G, M) \otimes_Z C'(G, N) \to C'(G, M \otimes_Z N)

được xác định bởi $u(f \otimes h)(g_1, ..., g_{p+q}) = f(g_1, ..., g_p) \otimes g_1, ..., g_p h(g_{p+1}, ..., g_{p+q})$ với

f \in C^p(G, M), \quad h \in C^q(G, N), \quad g_1 ... g_{p+q} \in G.

(Sử dụng bài tập 5, p. 185.)

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.