Exercice 2, § 7

On suppose que la $k$-algèbre $A$ admet une augmentation $\pi:A\to k$ (X, p. 196, exercice 27) et que, de plus, $A$ est un $k$-module projectif. On note $I$ le noyau de $\pi$. Soit $M$ un $A$-module à gauche.

a) Soit $(\mathscr{E}):0\to M_{(\pi)}\to B\xrightarrow{p}A\to0$ une extension de $A$ par le $(A,A)$-bimodule $M_{(\pi)}$ (X, p. 196, exercice 27) ; on note $\overline{B}$ l’idéal de $B$ formé des éléments $b\in B$ tels que $p(b)\in I$. On a $i(m)b=0$ pour $m\in M$ et $b\in\overline{B}$, de sorte que $\overline{B}$ est muni d’une structure de $A$-module à gauche telle que $p(\beta)b=\beta b$ pour $\beta\in B$, $b\in\overline{B}$. Montrer qu’il existe une suite exacte de $A$-modules

on note $\delta(\mathscr{E})$ la classe de cette suite exacte dans $Ext^1_A(I,M)$.

b) Montrer que $\delta$ définit une application de $Ex_k(A,M_{(\pi)})$ dans $Ext^1_A(I,M)$. Démontrer la commutativité du diagramme :

où $\delta$ est l’homomorphisme de liaison déduit de la suite exacte $0\to I\to A\xrightarrow{\pi}k\to0$, et où $\varphi$ est l’isomorphisme obtenu en calculant à l’aide de la résolution standard (X, p. 196, exercice 27, b)). En déduire que $\delta$ est un isomorphisme de groupes.