Bài tập 2, § 7

Ta giả sử rằng đại số $k$ $A$ thừa nhận một phép tăng cường $\pi:A\to k$ (X, p. 196, bài tập 27) và hơn nữa, $A$ là một $k$-môđun xạ ảnh. Ta ký hiệu bởi $I$ hạt nhân của $\pi$. Cho $M$ là một $A$-môđun trái.

a) Cho $(\mathscr{E}):0\to M_{(\pi)}\to B\xrightarrow{p}A\to0$ là một mở rộng của $A$ bởi $(A,A)$-song môđun $M_{(\pi)}$ (X, p. 196, bài tập 27); ta ký hiệu bởi $\overline{B}$ iđêan của $B$ tạo bởi các phần tử $b\in B$ sao cho $p(b)\in I$. Ta có $i(m)b=0$ với $m\in M$ và $b\in\overline{B}$, do đó $\overline{B}$ được trang bị một cấu trúc $A$-môđun trái sao cho $p(\beta)b=\beta b$ với $\beta\in B$, $b\in\overline{B}$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy khớp của các $A$-môđun

ta ký hiệu bởi $\delta(\mathscr{E})$ lớp của dãy khớp này trong $Ext^1_A(I,M)$.

b) Chứng minh rằng $\delta$ xác định một ánh xạ từ $Ex_k(A,M_{(\pi)})$ vào $Ext^1_A(I,M)$. Chứng minh tính giao hoán của biểu đồ:

trong đó $\delta$ là đồng cấu nối suy ra từ dãy khớp $0\to I\to A\xrightarrow{\pi}k\to0$, và trong đó $\varphi$ là đẳng cấu thu được bằng cách tính với dãy phân giải chuẩn (X, p. 196, bài tập 27, b)). Suy ra rằng $\delta$ là một đẳng cấu nhóm.