Exercice 4, § 7

Soient $\mathfrak{g}$ une $k$-algèbre de Lie, $M$ un $\mathfrak{g}$-module. Une extension de $\mathfrak{g}$ par $M$ est une suite exacte de $k$-modules

où $\mathfrak{h}$ est une $k$-algèbre de Lie, $p$ un homomorphisme d’algèbres de Lie, et où $i(\rho(H)m)=[H,i(m)]$ pour $H\in\mathfrak{h},m\in M$. Deux extensions

sont dites équivalentes s’il existe un homomorphisme $u:\mathfrak{h}\to\mathfrak{h}'$ tel que $p'\circ u=p,\ u\circ i=i'$. On note $Lie_x(\mathfrak{g},M)$ l’ensemble des classes d’équivalence d’extensions de $\mathfrak{g}$ par $M$. On suppose que $\mathfrak{g}$ est un $k$-module libre.

a) Soit $(\mathscr{E}):0\to M\to\mathfrak{h}\xrightarrow{p}\mathfrak{g}\to0$ une extension de $\mathfrak{g}$ par $M$ ; on choisit une section $k$-linéaire $s:\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ de $p$. On définit un élément $f\in C^2(\mathfrak{g},M)$ (X, p. 196, exercice 28, b)) en posant

Montrer que $f$ est un $2$-cocycle et que sa classe dans $H^2(\mathfrak{g},M)$ ne dépend pas du choix de $s$ ; on la note $\theta(\mathscr{E})$.

b) Montrer que $\theta$ définit une bijection de $Lie_x(\mathfrak{g},M)$ sur $H^2(\mathfrak{g},M)$. Décrire directement la structure de groupe sur $Lie_x(\mathfrak{g},M)$ obtenue par transport par $\gamma$.

c) Soient U l’algèbre enveloppante de g, $M_{(\pi)}$ le (U, U)-bimodule associé à M à l’aide de l’augmentation $\pi : U \to k$ (X, p. 196, exercice 27). Soit $0 \to M_{(\pi)} \to B \xrightarrow{\rho} U \to 0$ une extension de U par $M_{(\pi)}$ (exercice 1); on note b l’ensemble des éléments b de B tels que $p(b) \in j(g)$. Montrer que b est une k-algèbre de Lie, extension de g par M. Cette construction définit une application $\lambda : Ex_k(U, M_{(\pi)}) \to Liex(g, M)$. Montrer que le diagramme

(où $\varphi^2$ est l’isomorphisme défini en X, p. 196, exercice 27) est commutatif. En déduire que $\lambda$ est un isomorphisme. \*