Bài tập 4, § 7

Cho $\mathfrak{g}$ là một $k$-đại số Lie, $M$ là một $\mathfrak{g}$-môđun. Một mở rộng của $\mathfrak{g}$ bởi $M$ là một dãy khớp các $k$-môđun

trong đó $\mathfrak{h}$ là một $k$-đại số Lie, $p$ là một đồng cấu của các đại số Lie, và trong đó $i(\rho(H)m)=[H,i(m)]$ với $H\in\mathfrak{h},m\in M$. Hai mở rộng

được gọi là tương đương nếu tồn tại một đồng cấu $u:\mathfrak{h}\to\mathfrak{h}'$ sao cho $p'\circ u=p,\ u\circ i=i'$. Ta ký hiệu bởi $Lie_x(\mathfrak{g},M)$ tập hợp các lớp tương đương của các mở rộng của $\mathfrak{g}$ bởi $M$. Ta giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là một $k$-môđun tự do.

a) Cho $(\mathscr{E}):0\to M\to\mathfrak{h}\xrightarrow{p}\mathfrak{g}\to0$ là một mở rộng của $\mathfrak{g}$ bởi $M$; chọn một tiết diện $k$-tuyến tính $s:\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ của $p$. Ta định nghĩa một phần tử $f\in C^2(\mathfrak{g},M)$ (X, p. 196, bài tập 28, b)) bằng cách đặt

Chứng minh rằng $f$ là một $2$-cocycle và lớp của nó trong $H^2(\mathfrak{g},M)$ không phụ thuộc vào lựa chọn của $s$; nó được ký hiệu là $\theta(\mathscr{E})$.

b) Chứng minh rằng $\theta$ xác định một song ánh của $Lie_x(\mathfrak{g},M)$ lên $H^2(\mathfrak{g},M)$. Mô tả trực tiếp cấu trúc nhóm trên $Lie_x(\mathfrak{g},M)$ thu được bằng phép chuyển bởi $\gamma$.

c) Cho U là đại số bao của g, $M_{(\pi)}$ là song môđun $(U, U)$ liên kết với M nhờ phép tăng cường $\pi : U \to k$ (X, p. 196, bài tập 27). Cho $0 \to M_{(\pi)} \to B \xrightarrow{\rho} U \to 0$ là một mở rộng của U bởi $M_{(\pi)}$ (bài tập 1); ký hiệu bởi b tập hợp các phần tử b của B sao cho $p(b) \in j(g)$. Chứng minh rằng b là một $k$-đại số Lie, một mở rộng của g bởi M. Phép dựng này xác định một ánh xạ $\lambda : Ex_k(U, M_{(\pi)}) \to Liex(g, M)$. Chứng minh rằng biểu đồ

(trong đó $\varphi^2$ là đẳng cấu được định nghĩa trong X, p. 196, bài tập 27) là giao hoán. Suy ra rằng $\lambda$ là một đẳng cấu. \*