Exercice 5, § 7

Soient G, F deux groupes. a) Pour toute extension $\mathscr{E} : F \to E \to G$ de G par F (I, p. 62), l’opération de E sur F par automorphismes intérieurs définit un homomorphisme $E \to \mathrm{Aut}(F)$, d’où par passage au quotient un homomorphisme de groupes $\theta : G \to \mathrm{Aut}(F)/\mathrm{Int}(F)$, appelé homomorphisme associé à l’extension $\mathscr{E}$. Deux extensions isomorphes de G par F ont même homomorphisme associé. b) On considère inversement un homomorphisme de groupes $\theta : G \to \mathrm{Aut}(F)/\mathrm{Int}(F)$. Notons

l’application de passage au quotient. On choisit une application $\sigma$ de G dans $\mathrm{Aut}(F)$ telle que $p \circ \sigma = \theta$, et une application $f$ de $G \times G$ dans F telle que $\sigma(x) \sigma(y) (\sigma(xy))^{-1} = \mathrm{Int}(f(x, y))$ pour $x, y \in G$; on pose $c(x, y, z) = \sigma(x)(f(y, z)).f(x, yz).(f(xy, z))^{-1}.(f(x, y))^{-1}$. Montrer que $c(x, y, z)$ appartient au centre Z de F. c) On considère Z comme un G-module en posant $g.z = \sigma(g)(z)$ pour $g \in G, z \in Z$; cette définition est indépendante du choix de $\sigma$. L’application c définit un élément de $C^3(G, Z)$; montrer que c est un 3-cocycle, et que sa classe dans $H^3(G, Z)$ est indépendante des choix de $\sigma$ et de $f$. On la note $\omega(G, F, \theta)$. d) Montrer que la nullité de $\omega(G, F, \theta)$ est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une extension de G par F ayant pour homomorphisme associé $\theta$ (si $\omega(G, F, \theta) = 0$, montrer que l’on peut choisir $f$ de façon que le cocycle c soit nul, puis définir une loi de groupe sur $G \times F$). e) On suppose $\omega(G, F, \theta) = 0$. Montrer que l’ensemble des classes d’isomorphisme d’extensions de G par F, d’homomorphisme associé $\theta$, est un ensemble principal homogène sous le groupe $H^2(G, Z)$. f) Soient H un groupe, M un $\mathbf{Z}^{(H)}$-module, x un élément de $H^3(H, M)$. Montrer qu’il existe un groupe E de centre M et un homomorphisme $\varphi : H \to \mathrm{Aut}(E)/\mathrm{Int}(E)$, induisant sur M la structure de H-module donnée, tels que $\omega(H, E, \varphi) = x$ (prendre $E = M \times L$, où L est le groupe libre construit sur $H \times H$).