Bài tập 5, § 7

Cho $G$, $F$ là hai nhóm. a) Với mọi mở rộng $\mathscr{E} : F \to E \to G$ của G bởi F (I, p. 62), phép toán của E trên F bằng các tự đẳng cấu nội xác định một đồng cấu $E \to \mathrm{Aut}(F)$, do đó bằng cách chuyển qua thương xác định một đồng cấu nhóm $\theta : G \to \mathrm{Aut}(F)/\mathrm{Int}(F)$, được gọi là đồng cấu liên kết với mở rộng $\mathscr{E}$. Hai mở rộng đẳng cấu của G bởi F có cùng đồng cấu liên kết. b) Ngược lại, xét một đồng cấu nhóm $\theta : G \to \mathrm{Aut}(F)/\mathrm{Int}(F)$. Cho

là ánh xạ chuyển qua thương. Chọn một ánh xạ $\sigma$ từ G vào $\mathrm{Aut}(F)$ sao cho $p \circ \sigma = \theta$, và một ánh xạ $f$ từ $G \times G$ vào F sao cho $\sigma(x) \sigma(y) (\sigma(xy))^{-1} = \mathrm{Int}(f(x, y))$ với $x, y \in G$; đặt $c(x, y, z) = \sigma(x)(f(y, z)).f(x, yz).(f(xy, z))^{-1}.(f(x, y))^{-1}$. Bây giờ chứng minh rằng $c(x, y, z)$ thuộc về tâm Z của F. c) Xét Z như một G-môđun bằng cách đặt $g.z = \sigma(g)(z)$ với $g \in G, z \in Z$; định nghĩa này độc lập với lựa chọn $\sigma$. Ánh xạ c xác định một phần tử của $C^3(G, Z)$; bây giờ chứng minh rằng c là một 3-cocycle, và rằng lớp của nó trong $H^3(G, Z)$ độc lập với các lựa chọn $\sigma$ và $f$. Ta ký hiệu nó bởi $\omega(G, F, \theta)$. d) Bây giờ chứng minh rằng tính không của $\omega(G, F, \theta)$ là một điều kiện cần và đủ để tồn tại một mở rộng của G bởi F có $\theta$ là đồng cấu liên kết (nếu $\omega(G, F, \theta) = 0$, hãy chỉ ra rằng có thể chọn $f$ theo cách để cocycle c bằng không, rồi định nghĩa một luật nhóm trên $G \times F$). e) Giả sử rằng $\omega(G, F, \theta) = 0$. Bây giờ chứng minh rằng tập hợp các lớp đẳng cấu của các mở rộng của G bởi F, với đồng cấu liên kết $\theta$, là một tập thuần nhất chính dưới tác động của nhóm $H^2(G, Z)$. f) Cho H là một nhóm, M một $\mathbf{Z}^{(H)}$-môđun, x một phần tử của $H^3(H, M)$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một nhóm E có tâm M và một đồng cấu $\varphi : H \to \mathrm{Aut}(E)/\mathrm{Int}(E)$, cảm sinh trên M cấu trúc H-môđun đã cho, sao cho $\omega(H, E, \varphi) = x$ (lấy $E = M \times L$, trong đó L là nhóm tự do được xây dựng trên $H \times H$).