Exercice 20, § 8

Soient $R$ un anneau principal, $K$ son corps de fractions. On note $B$ le sous-anneau de $\mathbf{M}_2(K)$ formé des matrices $\begin{pmatrix} a & 0 \\ x & y \end{pmatrix}$ avec $a \in R$, $x, y \in K$.

a) Montrer que $B$ est nœthérien à gauche mais pas nœthérien à droite.

b) Montrer que $\mathrm{dh}(B) = 1$ et $\mathrm{dh}(B^\circ) = 2$.