Exercice 9, § 9

Soient A un anneau, M un A-module, k un entier $\geq 1$. On dit qu’une famille x d’éléments de A est k-sécante pour M si on a $H_i(x, M) = 0$ pour $1 \leq i \leq k$. Une famille x est donc complètement sécante si et seulement si elle est k-sécante pour tout $k \geq 1$. a) Soit $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ une suite exacte de A-modules. Montrer que si la famille x est k-sécante pour M’ et M”, elle l’est pour M. b) Si x est k-sécante pour M et si N est un A-module plat, x est k-sécante pour $M \otimes_A N$. c) Soient $a_1, ..., a_n$ des entiers $\geq 1$. Montrer qu’une suite $(x_1, ..., x_n)$ est k-sécante pour M si et seulement s’il en est de même de la suite $(x_1^{a_1}, ..., x_n^{a_n})$. d) Pour tout couple d’entiers $k, n$ avec $1 \leq k < n$, donner un exemple d’un anneau A, d’un A-module M et d’une suite $(x_1, ..., x_n)$ d’éléments de A qui est k-sécante mais non $(k+1)$-sécante pour M (utiliser X, p. 159, remarque 4).