Bài tập 9, § 9

Cho A là một vành, M là một A-môđun, k là một số nguyên $\geq 1$. Người ta nói rằng một họ x các phần tử của A là k-xuyên cắt đối với M nếu có $H_i(x, M) = 0$ với $1 \leq i \leq k$. Do đó một họ x là xuyên cắt hoàn toàn khi và chỉ khi nó là k-xuyên cắt với mọi $k \geq 1$. a) Cho $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ là một dãy khớp của các A-môđun. Bây giờ chứng minh rằng nếu họ x là k-xuyên cắt đối với M’ và M”, thì nó cũng là như vậy đối với M. b) Nếu x là k-xuyên cắt đối với M và nếu N là một A-môđun phẳng, thì x là k-xuyên cắt đối với $M \otimes_A N$. c) Cho $a_1, ..., a_n$ là các số nguyên $\geq 1$. Bây giờ chứng minh rằng một dãy $(x_1, ..., x_n)$ là k-xuyên cắt đối với M khi và chỉ khi điều tương tự đúng với dãy $(x_1^{a_1}, ..., x_n^{a_n})$. d) Với mọi cặp số nguyên $k, n$ thỏa mãn $1 \leq k < n$, hãy cho một ví dụ về một vành A, một A-môđun M và một dãy $(x_1, ..., x_n)$ các phần tử của A là k-xuyên cắt nhưng không phải là $(k+1)$-xuyên cắt đối với M (sử dụng X, p. 159, nhận xét 4).