Exercice 7, § 4

Dans un ensemble réticulé E, on dit qu’un élément a est irréductible si la relation sup(x, y) = a entraîne x = a ou y = a. a) Montrer que, dans un ensemble réticulé fini E, tout élément a peut s’écrire sup(e_1, . . . , e_k), où les e_i (1 ≤ i ≤ k) sont irréductibles. b) Soient E un ensemble réticulé fini, J l’ensemble de ses éléments irréductibles. Pour tout x ∈ E, soit S(x) l’ensemble des y ∈ J qui sont ≤ x. Montrer que l’application x ↦ S(x) est un isomorphisme de E sur une partie de $\mathfrak{P}(J)$, ordonné par inclusion, et que l’on a S(inf(x, y)) = S(x) ∩ S(y).

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