Bài tập 7, § 4

Một phần tử $a$ của một dàn $E$ được gọi là bất khả quy nếu quan hệ $\sup(x,y)=a$ kéo theo hoặc $x=a$ hoặc $y=a$.

(a) Chứng minh rằng trong một dàn hữu hạn $E$, mọi phần tử $a$ có thể được viết dưới dạng $\sup(e_1,\ldots,e_k)$, trong đó các $e_i$ ($1\leq i\leq k$) là bất khả quy.

(b) Cho $E$ là một dàn hữu hạn và cho $J$ là tập hợp các phần tử bất khả quy của nó. Với mỗi $x\in E$, cho $S(x)$ là tập hợp tất cả các $y\in J$ thỏa mãn $\leq x$. Chứng minh rằng ánh xạ $x\to S(x)$ là một đẳng cấu của $E$ lên một tập con của $\mathfrak{P}(J)$, có thứ tự bởi phép bao hàm, và rằng $S(\inf(x,y))=S(x)\cap S(y)$.